Main Research Interest


Publications
  1. Approximate inertial manifolds of exponential order, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 1 (1995), no. 3, 421-448.
  2. Conjugacy of strongly continuous semigroups generated by normal operators, J. Dynamics and Diff. Eqs., 7 (1995), no. 3, 471-490.
  3. (w/ N. Castaneda) Optimal estimates for the uncoupling of differential equations, J. Dynamics and Diff. Eqs., 8 (1996), no.1, 103-139.
  4. (w/ R. Temam) Inertial manifolds and normal hyperbolicity, ACTA Applicandae Mathematicae, 45 (1996), 1-50.
  5. (w/ I. Moise) On the regularity of the global attractor for a weakly damped, forced Korteweg-deVries equation,Advances in Diff. Eqs., 2 (1997), no. 2, 267-296.
  6. (w/ R. Temam) Finite-dimensional feedback control of a scalar reaction-diffusion equation via inertial manifold theory,in Foundations of Computational Mathematics, Selected papers of a conference held at IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, January 1997 (Eds. F. Cucker and M. Shub), pp. 382-391, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
  7. The global attractor for the 2D Navier-Stokes equations on some unbounded domains, Nonlinear Analysis TMA, 32 (1998), no. 1, 71-85.
  8. (w/ I. Moise and X. Wang) Attractors for non-compact semigroups via energy equations, Nonlinearity 11 (1998), no. 5, 1369-1393.
  9. (w/ M. Jolly and R. Temam) Evaluating the dimension of an inertial manifold for the Kuramoto-Sivashinsky equation,Advances in Differential Equations 5 (2000), no. 1-3, 31-66.
  10. The global attractor of a weakly damped, forced Korteweg-de Vries equation in H^1(R), Matemática Contemporânea 19 (2000), no. 1-3, 31-66.
  11. (w/ M. Jolly and R. Temam) Accurate computations on inertial manifolds, SIAM Journal on Scientific Computing 22(2001), no. 6, 2216-2238..
  12. (w/ C. Foias, O. P. Manley, and R. Temam) Cascade of energy in turbulent flows, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Série I 332 (2001), no. 6, 509-514.
  13.   (w/ C. Foias, O. P. Manley, and R. Temam) Navier-Stokes Equations and Turbulence, Cambridge University Press, August 2001.
  14. (w/ C. Foias, O. P. Manley, and R. Temam) Estimates for the energy cascade in three-dimensional turbulent flows, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Série I 333 (2001), no. 5, 499-504.
  15. (w/ C. Foias, M. Jolly, and O. P. Manley) Satistical estimates for the Navier-Stokes equations and the Kraichnan theory of 2-D fully developed turbulence, J. Stat. Phys. 108 (2002), no. 3/4, 591-646.
  16. Some results on the Navier-Stokes equations in connection with the statistical theory of stationary turbulence, Applications of Mathematics 47 (2002), no. 6, 485-516.
  17. (w/ O. Goubet) Asymptotic smoothing and the global attractor of a weakly damped, forced KdV equation on the real line, Journal of Diff. Eq. 185 (2002), 25-53.
  18. (w/ C. Foias, M. Jolly, and O. P. Manley) On the Landau-Lifschitz degrees of freedom in 2-D turbulence, J. Stat. Phys.  111 (2003), no. 3/4, 1017-1019.
  19. Exact finite-dimensional feedback control via inertial manifold theory with application to the Chafee-Infante equation,  J. Dynamics and Diff. Eqs. 15 (2003), no.1, 61-86.
  20. (w/ I. Moise and X. Wang) Existence of uniform attractors for noncompact nonautonomous dissipative systems via energy equations,  in a special issue in honnor of Mark Vishik on the occasion of his 80th anniversary, Discrete and Continuous Dynamical Systems A 10 (2004), nos. 1 & 2, 473-496.
  21. (w/ M. Cabral and R. Temam) Existence and dimension of the attractor for the Benard problem on channel-like comains, in a special issue in honnor of Mark Vishik on the occasion of his 80th anniversary, Discrete and Continuous Dynamical Systems A 10 (2004), nos. 1 & 2, 89-116.
  22. (w/ M. Cabral) Chaos on a damped and forced KdV equation, Physica D 192 (2004) no. 3 & 4, 265-278.
  23. (w/ M. Jolly) Computation of non-smooth local center manifolds, IMA Journal of Numerical Analysis, 25 (2005), no. 4, 698-725.
  24. (w/ C. Foias, M. Jolly, O. Manley, and R. Temam) Kolmogorov theory via finite-time averages, Physica D 212 (2005), no. 3 & 4, 245-270.
  25. Asymptotic regularity conditions for the strong convergence towards weak limit sets and weak attractors of the 3D Navier-Stokes equations, Journal of Differential Equations, 229 (2006), no. 1, 257-269.
  26. Turbulence Theories, In: J.-P. Françoise; G.L. Naber; Tsou S.T.. (Org.). Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier, Oxford, Vol. 5 pp. 295-302, 2006.
  27. (w/ L. Dieci, M. S. Jolly, and E. S. Van Vleck) Error in approximation of Lyapunov exponents on inertial manifolds: the Kuramoto-Sivashinsky equation, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 9 (2008), no. 3/4, 555-580.
  28. (w/ F. Ramos and R. Temam) Statistical estimates for channel flows driven by a pressure gradient, Physica D, 237 (2008), no. 10-12, 1368-1387.
  29. Theory and application of statistical solutions of the Navier-Stokes equations, Partial differential equations and fluid mechanics, 228--257, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 364, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009.
  30. (w/ C. Foias and R. Temam) A note on statistical solutions of the three-dimensional Navier-Stokes equations: the time-dependent case, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 348 (2010), no. 3-4, 235--240.
  31. (w/ C. Foias and R. Temam) A note on statistical solutions of the three-dimensional Navier-Stokes equations: the stationary case, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 348 (2010), no. 5-6, 347--353.
  32. (w/ N. Balci, C. Foias, and M. S. Jolly) On universal relations in 2-D turbulence, Discrete Contin. Dyn. Syst., 27 (2010), no. 4, 1327--1351.
  33. (w/ C. Foias and R. Temam) Topological properties of the weak global attractor of the three-dimensional Navier-Stokes equations, Discrete Contin. Dyn. Syst., 27 (2010), no. 4, 1611--1631.



Slides/Transparências





Works in Progress


Navier-Stokes Equations and the Conventional Theory of Turbulence
 
    O problema principal tratado nesse projeto é o estudo dos fenômenos turbulentos em fluidos Newtonianos através da utilização sistemática da análise matemática das equações de Navier-Stokes (ENS). É do entendimento dos pesquisadores envolvidos nesse projeto que muito se tem a ganhar nesse sentido com o estudo matemático rigoroso das ENS.

    Turbulência em fluidos como a água e o ar tem fascinado cientistas e leigos há séculos, mas o entendimento dos mecanismos envolvidos nesse fenônemo só teve um começo apreciável por volta do início do século XX, com os estudos de O. Reynolds (1895), L. Prandtl (1904) e T. von Karman (1911). Avanços significativos apareceram com os trabalhos de G. I. Taylor (1935,37) e A. N. Kolmogorov (1941, 1962), entre outros. Apesar de um comportamento imprevisível das diversas escalas envolvidas em um escoamento turbulento, uma certa ordem estatística aparece e  um tratamento probabilístico se torna apropriado. Mais recentemente, com os trabalhos de E. Lorenz (1963), S. Smale (1967) e D. Ruelle e F. Takens (1971), resgatando idéias de H. Poincaré, a idéia de caos determinístico serviria como paradigma para a explicação do comportamento imprevisível em turbulência. A teoria de bifurcações, por exemplo, se tornou bastante útil no estudo de turbulência fraca, na transição para um escoamento turbulento. Mas no estudo de turbulência plenamente desenvolvida, no entando, uma conexão mais quantitativa com a teoria de sistemas dinâmicos ainda está devendo. Em diversos aspectos, a teoria estatística convencional continua sendo, até o presente momento, a mais efetiva em aplicações tecnológicas práticas.

    Do ponto de vista matemático, os trabalhos de J. Leray (1933,34a,b) marcaram o início do tratamento matematicamente rigoroso das equações de Navier-Stokes, que regem o movimento dos fluidos Newtonianos, incluindo escoamentos turbulentos. Posteriormente, veio o trabalho de E. Hopf (1952), almejando um tratamento relativamente menos heurístico dos métodos estatísticos mencionados acima. Um tratamento mais rigoroso, porém, só teve início com os trabalhos de C. Foias e G. Prodi (1976), C. Foias (1972,73,74) e Vishik e Fursikov (1977)) tendo continuado nos trabalhos de P. Constantin, C. Foias e R. Temam (1985,88), C. Foias, O. Manley e R. Temam (1987),  C. Foias, O. P. Manley e L. Sirovich (1990), H. Bercovici, P. Constantin, C. Foias e O. P. Manley (1995), entre outros. Dentre os resultados obtidos, mencionamos a existência de soluções estatisticas das equações de Navier-Stokes, uma formulação funcional para a equação de Hopf da função característica da distribuição de probabilidade associada às soluções estatísticas, a estimativa da dimensão fractal do atrator global das equações de Navier-Stokes (atrator esse que está relacionado com o comportamento assintótico do sistema), decaimento exponencial do espectro de energia na região dissipativa, estudo do tensor de correlações de segunda ordem no espaço e a formulação de uma família de soluções estatísticas auto-semelhantes relacionadas ao decaimento de turbulência.

    O presente projeto, em colaboração com C. Foias, M. S. Jolly e R. Temam, dá continuidade a esses estudos e vários resultados já foram obtidos, principalmente em relação às transferências e cascatas de energia e enstrofia em escoamentos tri- e bidimensionais. Como mencionado acima, se tem muito a ganhar com o tratamento rigoroso do ponto de vista matemático, tanto para corroborar certos resultados obtidos empiricamente, como para avançar em certas questões menos compreendidas.

    Para uma introdução a alguns dos conceitos fundamentais da teoria convencional de turbulência e a alguns dos resultados rigorosos obtidos no programa descrito acima, veja o artigo paseky.pdf. Para um tratamento mais completo, apesar de não incluir alguns resultados mais recentes, veja o livro  Navier-Stokes Equations and Turbulence, editado pela Cambridge University Press,  de agosto de 2001.

    Veja, também, as transparências ebednsetwoup.pdf do minicurso "Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis", ministrado durante a I EBED (primeira Escola Brasileira de Equações Diferenciais), realizada no IMECC-Unicamp, de 9 a 13 de junho de 2003.

    Veja, ainda, as transparências lnccnsetwoup.pdf do minicurso "Equações de Navier-Stokes e turbulência", ministrada durante o Programa de Verão do LNCC, Petrópolis, RJ, de 24 a 27 de fevereiro de 2003.

    Para os interessados nas equações de Navier-Stokes e afins, visite a página http://wwwlma.univ-bpclermont.fr/NSenet/accueil.html e se inscreva na lista eletrônica NSelist!