MAE 002 Modelagem Matemática em Finanças II

Bacharelado em Matemátca Aplicada 2017/2

Prof. Marco Cabral


Aviso Inicial

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Pré-requisitos

O aluno deverá ter feito Modelagem Matemática em Finanças I, Cálculo I, e Cálculo das Probabilidades I e estar cursando Cálculo das Probabilidades II. Público-alvo: aluno pelo menos no final do segundo ano.


Livro


Avaliação

Serão aplicadas Provas e vou cobrar presença.


Trabalhos

Fazer em DUPLAS (preferencialmente) ou sozinhos.

  1. Implementar o movimento Browniano (processo de Wiener) pelo modelo binomial e utilizando "moeda normal". Fazer com diversos valores de deltaT fixando tempo final T=1. Verificar média e variância de 10mil simulações. Plotar no mesmo gráfico a curva normal e a distribuição da simulação. Fazer o mesmo (média, variância e distribuição) de exp(W) (exponencial do mov. brownianio). PRAZO: 16/agosto.
  2. Calcular var_1, var_2 e var_3 de função diferenciável tipo x^2, sem derivada tipo |x|, do mov. browniano. Colocar num gráfico o valor obtido em função do dx (com dx variando como PG) PRAZO: 28/agosto.
  3. [U] p. 27, exercício 1.9.6. PRAZO: 18/setembro
  4. [U] p.28, exercicio 1.9.9 e 1.9.10. PRAZO: 25/setembro
  5. Veja artigo do Higham. Reproduza resultado da p. 534 (simular mov. browniano geonetrico) com metodo de Euler Maruyama PRAZO: 11/outubro
  6. Simule o modelo CIR e o modelo Vasiceck. Mostre a distribuição de probabilidade obtida com método acima. PRAZO: 18/outubro
  7. Calcular valor de um call usando simulação da equação e comparar com valor pela fórmula.
  8. Calcular valor de um derivativos exóticos usando simulação da equação.

Seminários

Referências: [U] Ubbo, W.F. Brownian Motion Calculus [S] Shreve, S. E. Stochastic Calculus for Finance II (Continuous-Time Models)

Quem fará qual semináro:

  1. Construction of Brownian Motion from symmetric random walk.
    Definir, propriedades básicas (esperança, variancia, martingal) e provar convergência da distribuição para normal.
    Ref: [U] Seção 1.4 p. 6 e [S] Seção 3.2 p.84 (exceto 3.2.4 e 3.2.7)
    Fazer em sala exercício: 1.9.1 do [U] p. 26
  2. Brownian Motion
    Definição, propriedades, covariância, filtração
    Ref: [U] Seção 1.2 p. 2 e Seção 1.5 p. 12 [S] Seção 3.3 p. 93
    Fazer em sala exercício: 1.9.2 do [U] p. 26
  3. Nondifferetiability and Variabillity of brownian motion
    Provar que movimento browniano não possui derivada (no sentido de probabilidade). Definir variação de primeira ordem e quadrática. Aplicar ao movimento browniano. Ver com atenção seção 3.4.3 do [S], comentários finais na p. 107.
    Ref: [U] Seção 1.8 p.19 [S] Seção 3.4 p. 98
    Fazer em sala exercício: 1.9.3 e 1.9.5 do [U] p. 26
  4. Definição da integral de Ito: step non-random functions. Propriedades
    Ref: [U] Seção 3.2 p. 47 [S] Seção 4.2 p. 125
  5. Definição da integral de Itô: step random non-antecipating functions. Propriedades.
    Ref: [U] Seção 3.3 p. 49 [S] Seção 4.2 p.125, p. 128
  6. Definição da integral de Itô: non-antecipating random functions. Somente definição.
    Ref: [U] Seção 3.4 p. 52 [S] Seção 4.2 p. 132
  7. Propriedades da integral do item anterior.
    Ref: [U] Seção 3.5 p. 57 e [S] Seção 4.3 p. 132
  8. Aplicações.
    Ref: [U] Seção 3.7 p. 61 e 3.8 p. 62
  9. Itô-Doeblin Formula + Aplicações parte 1 Apresentar Teorema 4.4.1 p. 138 de [S] Ler Remark 4.4.7 p. 147 de [S]
    Ref: [U] Seção 4.3 p. 75, Seções 4.4.1 até 4.4.4 e [S] Seção 4.4.1 p. 137 , 4.4.2 p. 143
  10. Aplicações parte 2, Levy Characterization of Brownian Motion
    Ref: [U] Seção 4.4.5, 4.4.6, 4.5 p. 84 e [S] Teorema 4.6.4 p. 168
  11. Combinações de movimentos brownianos
    Ref: [U] Seção p. 4.6 p.89 e 4.7 p. 92 [S] Exercício 4.16 p.200(ler)
  12. Provar Formula de Itô (Douglas) incluindo Fórmula de Itô parmultidimensional Apresentar e provar a regra do produto e do quociente. Calcular integral de potências de B.
    Ref: [U] Seção 4.9 p. 96 e [S] Seção 4.4.2 p. 143
    Seção 4.6.2 de [S] p. 165.
  13. Mean Reversion SDE Ver modelo Vasicek.
    Ref: [U] Seção 5.5 p.110 e [S] Exemplo 4.4.10 p. 150
    Fazer exercício 4.8 de [S] p. 191.
  14. Mean-Reversion with Square root Ver modelo CIR.
    Ref: [U] Seção 5.6 e 5.7 p.112 e [S] Exemplo 4.4.11 p. 151
  15. Martingale Representation (sem provas, somente apresentar)
    Ref: [U] Seção 5.11 p. 120 e [S] Seção 5.3.1 p. 221
  16. Integral de Stratonovich. Fazer o exercício 4.4 da p. 190 de [S].
  17. Option Valuation Parte 1 Martingale method in continuous time. Digital call. Seção 6.3 até 6.5.1 (digital call). p. 135 a 141 de [U]
  18. Option Valuation Parte 2 Asset or nothing call. Stantdard european call (black-Scholes formula). Seção 6.5.2 e 6.5.3 p. 141 a 144.

Dia das Aulas

Será SEGUNDA e QUARTA das 15h-17h na ABC-116.

Descrição

O programa do curso é o Cálculo Estocástico aplicado a Finanças. O nível da abordagem é similar ao de Cálculo (versus digamos análise). Em detalhes:

  1. Teoria de Carteiras.
  2. Movimento browniano.
  3. Esperança condicional e Martingais.
  4. Integral de Itô.
  5. Cálculo de Itô.
  6. Equações Diferenciais Estocásticas. Alguns modelos aplicados a finanças: movimento browniano geométrico (ações), Ornstein-Uhlenbeck e mean-reversion models (taxa de juros).
  7. Aplicações no cálculo de opções: digital, asset-or-nothing, european call. Fórmula de Black and Scholes.
  8. Noções de métodos numéricos utilizando planilhas.

Principais Referências.

A Metodologia será: começaremos abordando rapidamente todos os tópicos iniciais (até cálculo de Itô) e depois recomeçaremos o curso abordando com cuidado novamente todo conteúdo através de seminários dos alunos.