Medida e Integração

Mestrado e Bacharelado em Matemática Aplicada 2016/2

Prof. Marco Cabral


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Avaliação

Serão aplicadas Provas e listas de exercícios. Também vou cobrar presença. Listas serão aplicadas a cada 2 semanas aproximadamente. Grau final (graduação): 20% para listas, 70% para provas, 10% seminários. Grau final (mestrado): 20% para listas, 70% para provas, 10% seminários.

  1. PROVA 1: 21/novembro
  2. PROVA 2: 12/dezembro

Material Bibliográfico


Listas de Exercícios (aguarde pois está sendo refeita)

Entrega sempre em sala de aula. Na solução indicar o número do exercício igual ao da apostila X.YY. Em caso de atraso, multa de 1 pto por aula de atraso. Assim, se prazo é segunda, entrega na quarta menos 1pto, na semana seguinte menos 2 ptos. Atraso máximo é uma semana.

  1. Lista 1. Prazo: 12/setembro (seg)
    Graduação: 1.1, 1.2, 1.7, 1.9 (b) (c), 1.10 (d) (e), 1.11, 1.13 (a) (c). (7 exercícios)
    Mestrado: 1.3, 1.6, 1.7, 1.9 (b) (c), 1.11, 1.12, 1.13, (b) (c), 1.14 (a) (c), 1.15, 1.16 (erro: ao invés de Y é X) (a) (b) O item (c) tem um erro. Mostrar que (a)=(b) somente (não é igual a sigma(Sigma_A). (10 exercícios)
  2. Lista 2. Prazo: 28/setembro (qua)
    Graduação: 1.14 (a) (b), 1.16 (a) (erro: ao invés de Y é X), 1.18, 1.21. 1.22, 1.24, 1.25 (7 exercícios)
    Mestrado: 1.17, 1.18, 1.19, 1.20 (a) , 1.21, 1.24, 1.25, 1.26, 1.28 (a), 1.29, 1.31 (11 exercícios)
  3. Lista 3. Prazo: 17/outubro
    Graduação: 1.32, 1.33(b), 1.35, 1.38, 1.41, 1.48
    Mestrado: 1.34(d), 1.35, 1.36, 1.39, 1.40, 1.52
  4. Lista 4. Prazo: 7/nov
    Graduação: 1.54, 1.59, 1.60, 1.64, 1.65(a)(b), 1.75, 1.79, 1.81
    Mestrado: 1.54, 1.55, 1.56, 1.61, 1.67, 1.79, 1.80, 1.81, 1.82, 1.83(d)
  5. Lista 5. Prazo: 23/novembro
    Graduação: 2.1 (b) <-> (c), 2.3, 2.9 (a), 2.19, 2.37, 2.40, 2.47, 2.49, 2.52, 2.56
    Mestrado: 2.9 (a) 2.13, 2.17 (a), 2.20, 2.33 (a), 2.37, 3.38, 2.40, 2.47, 2.54 (a), 2.55, 2.64
  6. Lista 6. Prazo: 7/dezembro
    Graduação: 1.84, 1.91, 1.92, 1.95, 1.96, 1.97 (a) (b), 2.60, 2.64, 3.3 (a) (b), 3.4, 3.5, 3.7,
    Mestrado: 1.84, 1.86, 1.91, 1.92, 1.95, 1.96, 1.97 (a) (b), 3.1, 3.2, 3.3 (a), 3.6, 3.7, 3.8(a) (b)

Vídeos


Seminários

Serão baseados no Bartle. Aguarde que vou acrescentar outros.
  1. [Chap. 9: p.100 -- p.104 ] Teo Caratheodory 13.5 (p.101 ver p.142) Teorema de Extensão de Hahn (unicidade).
  2. 31/outubro. Elkin [Chap 13] Teo 13.7 Medida de Lebesgue p. 144 para I=(a,b) + Unicidade Teo 13.8 p. 146
    [Chap. 15] Teo 15.3 p. 156 + Lema 15.1 p. 155 Aproximando conj msb Lebesgue por abertos.
  3. 31/outubro. Ana [Chap 4: p.31 -- p.36] + [Chap. 5: p.44 -- p.45] Teorema da Convergencia Monótona. Lema de Fatou. Provar Corolários. Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.
  4. 7/nov Iago [Chap 6: p.52 -- p.55 + p.60 -- p.61] Espaço Vetorial Normado (EVN): definição e provar que L1 e Linfinto são EVNs. Provar que Linfinito é completo.
  5. 7/nov Renan [Chap 6: p.55 -- p.60] Desigualdades de Holder, Cauchy-Schawrz, Minkowski. Lp é completo.
  6. 9/nov Lazaro [Chap. 7: p.65 -- p.72 + p.75 -- p.77] Tipos de Convergências: uniforme, pontual, quase sempre, Lp e em medida. Provar relações entre estas convergências. Apresentar VÁRIOS exemplos. Ver exercícios com exemplos. Pular convergência quase uniforme e Teorema de Egoroff. Provar Teorema da convergência de Vitali.
  7. [Ana] Espaços de Sobolev.
    Definir derivada fraca. Definir espaços de Sobolev. Provar que são espaços de Banach. Apresentar exemplos de derivada fraca em R e em R^2. Referência: Evans.
  8. [Chap. 8: p. 80 -- p. 87] Medidas com sinal (cargas) e Decomposição de Hahn. Decomposição de jordan de cargas.
  9. [Lazaro]Medida absolutamente contínua e Teorema de Radon-Nikodyn.
  10. [Chap. 8: p. 87 -- p.92] Decomposição de Lebesgue (toda medida pode ser escrita como a soma de medida absolutamente continua + singular). Funcionais lineares, Teorema da Rep. de Riesz (caracterização do dual de L^p, 1< =p < infinity)
  11. [Iago] Espaço das Distribuições.
    Definição. Exemplos de derivada. Distribuição que não é função (delta de Dirac). Medidas são distribuições. Derivada do delta de Dirac. Aplicações: solução de equações diferenciais. Referência: Smoller.
  12. [Chap 9: p. 105 -- p. 108] Funcionais lineares, Teorema da Rep. de Riesz (caracterização do dual de C(J)). Dual de Linfinito (não tem no Bartle. Ver Dunford-Schwartz, Linear Operators I, Theorem IV.8.16, page 296.).
  13. [Elkin] Medida exterior de Hausdorff em espaços métricos. Dimensão (fractal) de Hausdorff. Exemplos: conjunto de cantor, etc.
  14. Esperança Condicional.
    Aplicação do Teorema de Radon-Nikodyn: Definição de esperança condicional com relação a uma sigma-algebra, e com relação a uma variavel aleatória. Definição de Martingal.
  15. [Chap 10: p.113 -- p. 120 ] Medida Produto, Teorema de Tonelli e Fubini.
  16. Teorema da Extensão de Kolmogorov (probabilidade). Existência do movimento browniano.

    Descrição

    Na primeira parte: Teoria Geral de Medida, sem nos restringir à Medida de Lebesgue. Apresentamos a medida de Lebesgue utilizando o método de Caratheodory pelo seu uso na construção das medidas de Lebesgue-Stieltjes e de Hausdorff. Damos destaque a comparação entre as integrais de Riemann e Lebesgue.

    Na segunda parte: Teorema da Convergência Monótona e Dominada, Fubini, derivada de Radon-Nikodým, espaço produto.

    Vamos fazer a primeira parte com cuidado e a segunda parte primeiro rapidamente seguindo a minha apostila.

    Depois vamos retornar ao conteúdo da segunda parte utilizando o livro do Bartle Elements of Integration, para que seja feita com todos detalhes.

    Aplicações incluirão finanças e sistemas dinâmicos (dimensão de atrator, teoria ergódica). Havendo interesse podemos ver medidas de Haar, correntes (generalização de formas diferenciais).