Medida e Integração

Mestrado e Bacharelado em Matemática Aplicada 2015/2

Prof. Marco Cabral


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Avaliação

Serão aplicadas Provas e listas de exercícios. Também vou cobrar presença. Listas serão aplicada a cada 2 semanas aproximadamente.


Material Bibliográfico


Listas de Exercícios

  1. Lista 1. Prazo: 26/agosto(quarta). Da p. 14 e 15: 1, 2, 4, 5, 6, 8(b) e 8(d), 13, Da p. 16: 25, 27, 29, 30. ATENÇÃO: No Exercício 2 da p. 14 onde está escrito sigma-álgebra leia-se sigma-aditiva. Assim o início do exercício é: Suponha mu uma medida finitamente aditiva mas não necessariamente sigma-aditiva. (.....) Prove que mu é sigma-aditiva se, e somente se, é continua no vazio, (....)
  2. Lista 2. Prazo: 9/setembro (quarta). Da p. 14 a 20: 10, 14 (a), 14 (c), 15 (a) e (b) são equivalentes (leia na folha extra o 5(a) e veja que este é versão abstrata), 39, 44 (b), 44 (c), 45, 53, 56, 60 (b), 61 (a), 61 (c).
    Da folha extra (construindo sigma-álgebras): 2, 4 (a).
  3. Lista 3. Prazo: 30/setembro.
    Da p. 15 a 20: 19, 40, 46, 51, 68, 70 (a).
    Da p. 37 a 39: 3 (b), 5 (a), 10, 14, 24(a), 26.
    Da folha extra (construindo sigma-álgebras): 4 (c), 5(a) e 5(b).
  4. Lista 4. Prazo: 14/outubro.
    Da p. 20 e 21: 62, 65, 66, 75, 76, 78.
    Da p. 37 a 39: 11, 19, 25.
  5. Lista 5. Prazo: 4/novembro (qua)
    p.39 e 40: 29 (a), 30, 31, 33, 34, 36.

Vídeos


Seminários

Serão baseados no Bartle. Aguarde que vou acrescentar outros.
  1. Daniel [Chap. 9: p.100 -- p.104 ] Teo Caratheodory 13.5 (p.101 ver p.142) Teorema de Extensão de Hahn (unicidade).
  2. Anderson [Chap 13] Teo 13.7 Medida de Lebesgue p. 144 para I=(a,b) + Unicidade Teo 13.8 p. 146
  3. Wellington [Chap. 15] Teo 15.3 p. 156 + Lema 15.1 p. 155 Aproximando conj msb Lebesgue por abertos.
  4. Rodrigo [Chap 4: p.31 -- p.36] + [Chap. 5: p.44 -- p.45] Teorema da Convergencia Monótona. Lema de Fatou. Provar Corolários. Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.
  5. Yuri [Chap 6: p.52 -- p.55 + p.60 -- p.61] Espaço Vetorial Normado (EVN): definição e provar que L1 e Linfinto são EVNs. Provar que Linfinito é completo.
  6. Gian [Chap 6: p.55 -- p.60] Desigualdades de Holder, Cauchy-Schawrz, Minkowski. Lp é completo.
  7. Paulo [Chap. 7: p.65 -- p.72 + p.75 -- p.77] Tipos de Convergências: uniforme, pontual, quase sempre, Lp e em medida. Provar relações entre estas convergências. Apresentar VÁRIOS exemplos. Ver exercícios com exemplos. Pular convergência quase uniforme e Teorema de Egoroff. Provar Teorema da convergência de Vitali.
  8. Espaços de Sobolev.
    Definir derivada fraca. Definir espaços de Sobolev. Provar que são espaços de Banach. Apresentar exemplos de derivada fraca em R e em R^2. Referência: Evans.
  9. Gil [Chap. 8: p. 80 -- p. 87] Medidas com sinal (cargas) e Decomposição de Hahn. Decomposição de jordan de cargas.
  10. Medida absolutamente contínua e Teorema de Radon-Nikodyn.
  11. [Chap. 8: p. 87 -- p.92] Decomposição de Lebesgue (toda medida pode ser escrita como a soma de medida absolutamente continua + singular). Funcionais lineares, Teorema da Rep. de Riesz (caracterização do dual de L^p, 1< =p < infinity)
  12. Espaço das Distribuições.
    Definição. Exemplos de derivada. Distribuição que não é função (delta de Dirac). Medidas são distribuições. Derivada do delta de Dirac. Aplicações: solução de equações diferenciais. Referência: Smoller.
  13. [Chap 9: p. 105 -- p. 108] Funcionais lineares, Teorema da Rep. de Riesz (caracterização do dual de C(J)). Dual de Linfinito (não tem no Bartle. Ver Dunford-Schwartz, Linear Operators I, Theorem IV.8.16, page 296.).
  14. Medida exterior de Hausdorff em espaços métricos. Dimensão (fractal) de Hausdorff. Exemplos: conjunto de cantor, etc.
  15. Esperança Condicional.
    Aplicação do Teorema de Radon-Nikodyn: Definição de esperança condicional com relação a uma sigma-algebra, e com relação a uma variavel aleatória. Definição de Martingal.
  16. [Chap 10: p.113 -- p. 120 ] Medida Produto, Teorema de Tonelli e Fubini.
  17. Teorema da Extensão de Kolmogorov (probabilidade). Existência do movimento browniano.

    Descrição

    Na primeira parte: Teoria Geral de Medida, sem nos restringir à Medida de Lebesgue. Apresentamos a medida de Lebesgue utilizando o método de Caratheodory pelo seu uso na construção das medidas de Lebesgue-Stieltjes e de Hausdorff. Damos destaque a comparação entre as integrais de Riemann e Lebesgue.

    Na segunda parte: Teorema da Convergência Monótona e Dominada, Fubini, derivada de Radon-Nikodým, espaço produto.

    Vamos fazer a primeira parte com cuidado e a segunda parte primeiro rapidamente seguindo a minha apostila.

    Depois vamos retornar ao conteúdo da segunda parte utilizando o livro do Bartle Elements of Integration, para que seja feita com todos detalhes.

    Aplicações incluirão finanças e sistemas dinâmicos (dimensão de atrator, teoria ergódica). Havendo interesse podemos ver medidas de Haar, correntes (generalização de formas diferenciais).