MAE 475 Medida e Integração

Bacharelado em Matemátca Aplicada 2011/2

Prof. Marco Cabral


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Pré-requisitos

Análise Real e Cálculo III.

Avaliação

Prova 1 e Prova 2.

Serão aplicadas Provas. Os alunos deverão apresentar em aula exercicios e tópicos do curso. Também vou cobrar presença.

Notas P1, P2, P3 e GF


Prova 3 (terça 20/dez, 10h)

Roteiro de estudo para prova (obs: ao invés do que disse em sala, todos deverão estudar todos os pontos; vou pegar um subgrupo e colocar na prova).
  1. Enunciado do Hahn Extension Thm (unicidade) p. 103. Saber fazer a demonstração quando a medida é finita.
  2. (aproximando conjuntos msb a Lebesgue) Saber prova o Lema 15.1 (p. 155) No Teo 15.3 (p. 156) saber provar que se E é msb e finito então para todo e>0 existe G aberto com m(G-E)< e.
  3. Prova do Teorema 4.6 da Convergencia Monótona (p.31)
  4. Saber o enunciado do Teorema 5.6 da Convergencia Dominada de Lebesque (p.44)
  5. Saber a definição de norma (p.52) e exemplos de espaços vetorias normados (p.53). Saber definição de L1 (p.54) e Lp (p.55). Saber definir ||f||_infinity (p.60 no final). Saber prova que L^infinity é completo (ver Theo 6.16 p. 61 no final da prova).
  6. (Tipos de Convergencias) Saber definir convergência Lp, qtp, em medida.(p. 65, 66, 69). Estudar exemplo 7.4 da p.68. Saber provar que convergência em Lp implica em convergencia em medida (p.69 no meio do texto). Saber fazer exercicio 7.A, 7.B, 7.C, 7.D da p.77.
  7. Saber enunciado do Teorema de Vitali 7.13 (p.76)
  8. Espaços de Sobolev (Evans): Saber definição de derivada fraca; saber verificar que a derivada fraca de f é g (dadas f e g). Saber definição de espaço de Sobolve H^1.
  9. Saber os enunciados do Teorema 8.14 da Rep. de Riesz p. 90 e o da p.106 Theor 9.9 (caracterização do dual de L^1 e de L^p):

Seminários

Serão baseados no Bartle.
  1. Teo Caratheodory 13.5 (p.101 ver p.142) Hahn Extension Thm (unicidade) p. 103
    Hugo.
  2. Teo 13.7 Medida de Lebesgue p. 144 para I=(a,b) + Unicidade Teo 13.8 p. 146
    Valadão.
  3. Teo 15.3 p. 156 + Lema 15.1 p. 155 Aproximando conj msb Lebesgue por abertos.
    Renan.
  4. Teorema da Convergencia Monótona p.31
    Rafael.
  5. Teorema da Convergencia Dominada de Lebesque p.44 + Lema de Fotou p. 33
    Lucas.
  6. Espaço Vetorial Normado p.5 2 + Lema 6.5 p.54 Def 6.6 Teorema 6.7 (L^1)
    Hugo.
  7. Cauchy-Schawrz p. 56 + Teo 6.14 p. 59 L^p é completo
    Anderson.
  8. Chap. 7: Tipos de Convergencias p. 65.
    Valadão.
  9. Espaços de Sobolev (Evans)
    Rafael.
  10. Equação do Calor.
    Valadão
  11. Teorema 8.11 da Decomposição (de medidas) de Lebesgue: toda medida pode ser escrita como a soma de medida abslotutamente continua + singular. p. 88
    Renan
  12. Teorema da Rep. de Riesz (caracterização do dual de L^1 e de L^p): Teo 8.14 + Teo 8.15 da p. 90 e p.91.
    Anderson .
  13. Teo. 10.4 da Medida Produto p. 114. + Sigma algebra de Caratheodory é maximal. Lucas