Equações Diferenciais Parciais

Bacharelado e Mestrado em Matemátca Aplicada 2008/1

Prof. Marco Cabral


Material

Estes exercícios são parte MUITO importante para o curso. Foram criados ou retirados de livros e exames de qualificação de Doutorado.

Resumo

Este curso destina-se a alunos da graduação avançados e a alunos do Mestrado. Os pré-requisitos são Calculo I, II e III (principalmente Calculo I) e Análise Real. De resto, o curso é auto-contido. Mesmo quem nunca viu EDP poderá fazer o curso. O objetivo é poder contemplar a beleza das EDPs sob o ponto de vista de Sistemas Dinâmicos em Dimensão Infinita, passando pela teoria clássica também.

Este é o ponto de partida para toda abordagem moderna de EDPs: espaços funcionais, atratores e análise dos métodos numéricos.

Este curso está em sua quarta versão. A programação que apresento abaixo já passou pelo teste da realidade portanto.


Dia das Aulas

Será quarta e sexta das 10h-12h na ABC-116.

Descrição

O curso será baseado no livro: Lawrence C. Evans; Partial Differential Equations; Springer-Verlag. Cheque as erratas do livro na página do Evans. Na parte de distribuições utilizaremos o Smoller. Outra referência importante é o Fritz John. A avaliação será feita através de listas de exercício e 2 provas.

PARTE I: Teoria Clássica

1 Introdução: Notação multi-index (Fritz John); Exemplos, estratégias para o estudo.

2.1 Equação do Transporte: homogêneo e não-homogêneo.
2.2 Equação de Laplace: Solução fundamental; Valor médio; Propriedade, Função de Green; Métodos de energia.
2.3 Equação do Calor: Solução fundamental; princípio de Duhamel; Fórmula do valor médio; Propriedades de soluções; Métodos de Energia;
2.4 Equação da Onda: Solução por médias esféricas (n=1 e n=3); Princípio de Duhamel; Método de Energia.

4.1 Separação de variáveis (série de Fourier)
4.2.1 Ondas Planas e Viajantes (vel. de grupo e dispersão).
4.3.1 Transformada de Fourier

(Smoller) Espaço das distribuições e transformada de Fourier

PARTE II: Teoria Moderna

Capítulo 5: Espaços de Sobolev
5.1 Hölder
5.2 Sobolev
5.3 Aproximação
5.4 Extensão
5.5 Traços
5.6 Desigualdades de Sobolev
5.7 Compacidade
5.8.1 Desigualdade de Poincaré
5.8.4 Caracterização por transf. de Fourier
5.9 Outros espaços (Sobolev negativos e espaços com tempo)

Capítulo 6: Equações Elipticas de Segunda Ordem
6.1 Definição e solução fraca
6.2 Existência de Solução fraca: Lax-Milgram; Estimativas de Energia; Alternativa de Fredholm;
6.3 Regularidade
6.4 Princípio do Máximo
6.5.1 Autovalores e Autofunções

7.1: Equações Parabólicas: Definição; Existência de Soluções Fracas; Regularidade; Princípio do máximo.


Programação do Curso:

Semana 1: 1. intro (5) e 2.1 transporte (3)

Semana 2,3: 2.2 Laplace (22)

Semana 4: 2.3 Calor (22)

Semana 5: 2.4 Onda (12)

Semana 6: 4.1 Separação de variáveis; 4.2.1 Ondas Planas e Viajantes; 4.3.1 Transformada de Fourier

Semana 7: Espaço das distribuições e transformada de Fourier

Semana 8: Prova 1

Semana 9,10,11: 5. Espaço de Sobolev: (42)

Semana 12,13: 6. Eqs. Elipticas: (17)

Semana 14,15: 7.1 Eqs. Parabólicas: (16)

Semana 16: Prova 2


Referências Bibliográficas:

Além do livro-texto, deve-se dar uma olhada em alguns clássicos de EDP:


Calendário

março:
semana 1: 12, 14
semana 2: 19, (21) - feriado 21/março (páscoa)
semana 3: 26, 28

abril:
semana 4: 02, 04
semana 5: 09, 11
semana 6: 16, 18
semana 7: 23, 25
semana 8: 30, (2) - Prova 1 feriado 1/maio (dia do trabalho)

maio:
semana 09: 07, 09
semana 10: 14, 16
semana 11: 21, (23) - feriado 22/maio (corpus christi)
semana 12: 28, 30

junho:
semana 13: 04, 06
semana 14: 11, 13
semana 15: 18, 20
semana 16: 25, 27 - Prova 2

Provas: