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Equações Diferenciais Parciais II
Mestrado em Matemática
UFRJ

Material


Caros alunos.

Apresento aqui programação da última vez que dei este curso. Pretendo fazer adaptações, dando mais ênfase em alguns tópicos, incluindo outros e exlcluindo alguns. Conversamos sobre isto em agosto.

Abs, Marco.




Prof. Marco Aurélio P. Cabral

Sala: CT, Bloco C, 121-A (minha sala) ou 118 (Labma)

e-mail: mcabral@labma.ufrj.br

home page: www.labma.ufrj.br/~mcabral


O curso será baseado no livro: Lawrence C. Evans; Partial Differential Equations; Springer-Verlag. Na parte de distribuições utilizaremos o Smoller. Outra referência importante é o Fritz John. A avaliação será feita através de listas de exercício semanais, e 2 provas.


PARTE I: Teoria Clássica

3.2 Caracteristicas: derivação, exemplos, soluções locais, exemplos;
3.4 Leis de Conservação: choques e condição de entropia;


PARTE II: Teoria Moderna

7.2 Eqs. Hiperbólicas: definição, existência de solução fraca, regularidade.
7.3 Sistemas hiperbólicas de primeira ordem: sistemas simétricos, com coeficientes constantes.
7.4 Teoria de Semigrupos: definições, propriedades elementares, semigrupos de contração.


PARTE III: Teoria Não-Linear

8. Calculo das Variações: introdução, minimizers, regularidade, restrições, mountain pass theorem.


9.1 Método da Monotonia
9.2 Métodos de Ponto Fixo: Banach e Schauder.
9.3 Super e subsolução
Expoentes de Lyapunov e Estimativa de Dimensão de Atrator.


Programação do Curso:


Semana 1,2: 3.2 Caracteristicas (15)

Semana 3: 3.4 Introdução às Leis de Conservação (26)

Semana 4,5: 7.2 Eqs. Hiperbólicas (22)

Semana 6: 7.3 Sistemas hiperbólicas de primeiro ordem (12)

Semana 7: 7.4 Teoria de Semigrupos (12)

Semana 8: Prova 1; 8.1 Introdução ao Cálculo das Variações (11)

Semana 9: 8.2 Existência de Minimizers (15) e 8.3 Regularidade (5)

Semana 10: 8.4 Restrições (18)

Semana 11: 8.5 Pontos Críticos, Passo da Montanha (12) e 9.1 Método da Monotonia (7)

Semana 12: 9.2 Métodos de Ponto Fixo (9) e 9.3 Super e subsolução (3)

Semana 13,14: Expoentes de Lyapunov e Estimativa de Dimensão de Atrator.

Semana 15: Prova 2


Referências Bibliográficas:


Além do livro-texto, deve-se dar uma olhada em alguns clássicos de EDP:


John, Fritz (1982); Partial Differential Equations; Springer-Verlag. Livro texto muito utilizado. É um livro fino e portanto extremamente denso. Os exercícios são bem difíceis (vários estão no livro do L. Evans). Vale a pena ter.


Brezis, Haim (1993). Analyse Fonctionelle, Theorie et Applications Masson. Livro de análise funcional com ênfase em EDP. Apresentas os espaços de Sobolev e a teoria moderna (como na parte II do curso), servindo de referência suplementar ao curso.


Figueredo, Djairo G. (1987); Análise de Fourier e EDP; Impa. Caso se queira aprender detalhes de série de Fourier e a dedução física das equações do calor e da onda. Nível de graduação.


Gustafson, Karl E. (1980); Partial Differential Equations and Hilbert Spaces Methods; John Wiley & Sons. Livro no estilo oráculo. Fala bastante e evita fazer contas.


Iório, Rafael & Iório, Valéria; (1988); Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução. IMPA. Apresenta série de Fourier e transformada de Fourier; Distribuições (incluindo as temperadas) e um pouco de espaços de Sobolev; Vale para ver série/transformada de Fourier.

Smoller, Joel; Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations; Springer-Verlag. Livro denso e que apresenta muito material em EDP não-linear.

Trudinger, N.; Gilbarg, D. (1983); Elliptic PDE of Second Order; Springer-Verlag. É referência básica para equações elipticas.


Sobolev, S. L. (1964); PDE of Mathematical Physics; Dover.

Tijonov, A. Samarsky, A. (1960); Ecuaciones de La Fisica Matematica Mir. Este livro e o do Sobolev representam livros de EDP de física matemática. Fazem muitas contas e apresentam outras bases espectrais de interesse físico: polinômios de Legendre, esféricos harmônicos, funções de Bessel, etc.




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Marco Aurelio P. Cabral 2003-09-01