Quadro de notas (atualizado em 26/2)
A noção de resolver de maneira eficiente pode ser formalizada em termos de teoria da complexidade (tempo esperado polinomial). A ênfase neste curso é a matemática relacionada a esse problema, que inclui tópicos como geometria simplética ou matrizes aleatórias.
Livro texto:Gregorio Malajovich, Nonlinear equations, 28 Colóquio de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2011. Note-se que pretendo incluir tópicos novos nesse livro, e pretendo fazer isso durante o semestre.
Pré-requisitos:Cultura matemática a nível de mestrado,
e vontade de aprender a matemática do século XXI (que não sabemos
qual é).
O que são "fewnomials" ? Polinômios são exemplos de fewnomials. Funções elementares (exponencial, seno, cosseno, etc...) são exemplos de fewnomials. Em geral, podemos construir fewnomials como elementos de \(\mathbb R[x_1. \dots, x_n, y_1, \dots, y_r]\) onde \(x_1, \dots, x_n\) são variáveis livres e \(y_j\) é solução de certo tipo de equação diferencial (equação Pfaffiana) com coeficientes em \(\mathbb R[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_{j-1}]\). Sistemas de equações fewnomiais têm um número finito de soluções reais isoladas. A teoria dos fewnomials permite estimar esse número em função da complexidade das equações. Por exemplo, assuma que \(f_1, \dots, f_n \in \mathbb R [x_1. \dots, x_n, y_1, \dots, y_n]\) onde \(y_i = e^{x_i}\) e \(f_i\) tem grau \(d_i\). Então (Teorema \(\S1.2\) p.12) o número de soluções isoladas de \[ f_1(\mathbf x, \mathbf y(\mathbf x) = \cdots = f_n(\mathbf x, \mathbf y(\mathbf x)) \] é de no máximo \[ d_1 d_2 \cdots d_n (\sum d_i + 1)^n 2^{n(n-1)/2} . \]
Bibliografia: Khovanskii, A. G. Fewnomials. Translated from the Russian by Smilka Zdravkovska. Translations of Mathematical Monographs, 88. American Mathematical Society, Providence, RI, 1991. viii+139 pp. ISBN: 0-8218-4547-0
Ementa: Pretendo cobrir o livro: Introdução à teoria dos fewnomials, teorema de Khovanskii-Rolle e teorema análogo ao de Bézout, equações Pfaffianas, variedades Pfaffianas.
Esta disciplina não é oferecida regularmente.
Horário: A ser anunciado (alunos interessados devem entrar em contato comigo para combinar).
A ser anunciado
Horário: Terça e Quinta, 15:10 às 16:50
Local: F2-18 (CCMN).
Bibliografia principal: Gilbert Strang, Álgebra Linear e Suas Aplicações, Cengage Learning, São Paulo, 2010. (Tradução de Linear Algebra and its Applications 4th edition ). Todos os exercícios se referem a esse texto. Outra bibliografia: Meu livro de Álgebra Linear está disponível em linha. Para outros textos recomendados, consultar o apêndice A.
Avaliação Prova intermediária, 30% da nota. Prova final, 50% da nota. Exercícios, 20% da nota.
Exercícios São corrigidos por amostragem (é responsabilidade dos estudantes chegar com os exercícios resolvidos. Três estudantes serão sorteados por sessão, devendo resolver a lista no quadro e entregar a lista.
Presença Pelas normas da UFRJ, 8 faltas neste curso implicam em reprovação. Pretendo abonar as faltas de quem tirar (1) média acima de 7, ou (2) nota acima de 7 na final, com média acima de 5.
Monitoria: O monitor da matéria é Rodrigo Schaefer. Ele
atende na sala G-213 do CT, terças e sextas, às 13:00.
| Data | Aula expositiva | Sessão de exercícios |
| Terça feira, 17 de agosto | Introdução geral e revisões de geometria analítica | Sem exercícios |
| Quinta feira, 19 de agosto | Cap. 1.1 a 1.3 | Sem exercícios |
| Terça feira, 24 de agosto | Cap. 1.4 e 1.5 | Cap.1.2 Ex.2,5,6,7,8,11,21 ; Cap.1.3 Ex.11, 13, 15 (substituir por 'Não é possível', 21,22,31 |
| Quinta feira, 26 de agosto | Cap. 1.6 e 1.7 | Cap.1.4 Ex.9,15,18,19,21,26,41,45,52,57,59; Cap.1.5 Ex.5,7,19,24,27,46,47,48 |
| Terça feira, 31 de agosto | Cap. 2 | Cap.1.6 Ex.4,10,15,21,25,33,40,48,54,61,66,68; Cap.1.7 Ex.3,4,8 |
| Quinta feira, 2 de setembro | Cap. 2 | Não haverá aula de exercícios |
| Terça feira, 7 de setembro | Independência | |
| Quinta feira, 9 de setembro | Cap. 2 | Cap.2.1 Ex.7,10,17,22,25. Cap.2.2 Ex.1,5,6,10,18,21,28,43,56,65 |
| Terça feira, 14 de setembro | Cap. 3 | Cap.2.3 Ex. 17,21,25,29,43,45. Cap.2.4 Ex. 13,15,22,23,29,34 |
| Quinta feira, 16 de setembro | Cap. 3 | Cap.2.5 Ex. 4,5,6,7,20. Cap. 2.6 Ex. 1,2,3,10,21,31,32,33,34,35 |
| Terça feira, 21 de setembro | Cap. 3 | Cap.3.1 Ex. 32,33,34,46,47. Cap.3.2. Ex.6,7,8,21,22,23 |
| Quinta feira, 23 de setembro | Cap. 4 | Cap.3.3 Ex. 15,20,21,27,28,29. Cap.3.4 Ex.3,6,10,19,20,21,22 |
| Terça feira, 28 de setembro | Estarei fora do estado | |
| Quinta feira, 30 de setembro | Cap. 4 | Cap.3.5 Ex.6,7,11,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22 |
| Terça feira, 5 de outubro | Jornada da Iniciação Científica | |
| Quinta feira, 7 de outubro | Jornada da Iniciação Científica | |
| Terça feira, 12 de outubro | Nossa Sra de Aparecida | |
| Quinta feira, 14 de outubro | Revisão | |
| Terça feira, 19 de outubro | PROVA | |
| Quinta feira, 21 de outubro | Cap. 5 | |
| Terça feira, 26 de outubro | Cap. 5 | |
| Quinta feira, 28 de outubro | Cap. 5 | |
| Terça feira, 2 de novembro | Finados | |
| Quinta feira, 4 de novembro | Cap. 6 | |
| Terça feira, 9 de novembro | Cap. 6 | |
| Quinta feira, 11 de novembro | Cap. 6 | |
| Terça feira, 16 de novembro | Cap. 7 | |
| Quinta feira, 18 de novembro | Cap. 7 | |
| Terça feira, 23 de novembro | Cap. 7 | |
| Quinta feira, 25 de novembro | Cap. 8 | |
| Terça feira, 30 de novembro | Cap. 8 | |
| Quinta feira, 2 de dezembro | Cap. 8 | |
| Terça feira, 7 de dezembro | Revisão | |
| Quinta feira, 9 de dezembro | ??? | |
| Terça feira, 14 de dezembro | PROVA | |
Horário: Segunda e Quarta 13:10 às 14:50.
Local: F237.
Ementa: Polinômio de Taylor. Seqüências e séries numéricas. Séries de potências e resolução de equações diferenciais ordinárias. Transformada de Laplace. Séries de Fourier e transformada de Fourier. Aplicações às equações a derivadas parciais.
ReferênciasNão existe livro texto adequado para essa ementa. Pretendo combinar capítulos dos seguintes livros:
Avaliação Duas provas (30% + 50% da nota) mais um trabalho (20%).
Listas de exercícios: aqui
Horário: Terça e Quinta, 10:10 às 12:00
Local: F2-010 do CCMN.
Bibliografia: meu livro de Álgebra Linear, capítulos 1-18 e 22. Para outros textos recomendados, consultar o apêndice A.
Primeira prova(30% da nota): 5a feira, dia 27 de maio, 10:00. Programa: até o Capítulo 12. Segunda prova(70% da nota): 5a feira, dia 8 de julho, 10:00.
Horário: Terça e Quinta, 13:10 às 15:00 HORÁRIO MUDOU !
Local: B106-A
Pré-requisitos: Não tem.
Bibliografia: Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming vol 2, Seminumerical Algorithms, Third edition. Addison-Wesley, Upper Saddle River NJ, 1998.
Descrição: Pretendemos alguns dos fundamentos matemáticos da ciência da computação. Este não é um curso de programação nem de algoritmos. O que nos interessa é a matemática subjacente.
O curso está dividido em duas partes. A primeira trata de
aleatoreidade (randomness). A possibilidade de utilizar
números aleatórios é assumida em análise numérica ou no estudo
teórico de algoritmos, mas essa hipótese geralmente
não pode ser satisfeita.
Números aleatórios são substituidos, na prática, por números
pseudo-aleatórios. Mas essa também é uma noção problemática,
como se desprenderá do curso. Vamos ver algumas técnicas geralmente
utilizadas para gerar números pseudo-aleatórios, a sua fundamentação
matemática (que inclui teoria elementar dos números, por exemplo)
e também os testes que permitem desmascarar (ou quebrar) uma fonte
de números pseudo-aleatórios.
A segunda parte do curso é dedicado à aritmética computacional, desde as idéias matemáticas que permitem fazer multiplicação rápida até a análise do mais clássico dos algoritmos (o de Euclides).
Avaliação:Listas e seminários. Os exercícios nas listas são avaliados pela fórmula p = 2 n/5 onde n é a classificação de dificuldade do exercício (na escala do texto), e p é o número de pontos que serão contabilizados para o cômputo da nota.
Horário: Terça e Quinta, 10:10 às 11:50.
Local: F2-14.
Pré-requisitos: Em geral, os alunos que assistem este curso tiveram um primeiro curso de CVGA (Cálculo Vetorial e Geometria Analítica), além de um primeiro período reforçado. Esses não são requisitos formais.
Bibliografia: Pretendo utilizar o meu livro ainda em preparação. Sugiro só imprimir cada capítulo quando ele estiver marcado como segunda revisão.
Método: Os exercícios de cada capítulo serão cobrados na aula subsequente, por amostragem.
Avaliação: Média aritmética de 4 provas (peso 1 cada) e da nota dos exercícios (peso 1).
| Data | Aula expositiva | Sessão de exercícios |
| Terça, 4 de agosto de 2009 | INÍCIO DAS AULAS ADIADO | |
| Quinta, 6 de agosto de 2009 | INÍCIO DAS AULAS ADIADO | |
| Terça, 11 de agosto de 2009 | INÍCIO DAS AULAS ADIADO | |
| Quinta, 13 de agosto de 2009 | INÍCIO DAS AULAS ADIADO | |
| Terça, 18 de agosto de 2009 | Aulas supensas:Semana da Matemática Aplicada | |
| Quinta, 20 de agosto de 2009 | Aulas supensas:Semana da Matemática Aplicada | |
| Terça, 25 de agosto de 2009 | Cap.1: Espaços lineares, equações afins | Não há |
| Quinta, 27 de agosto de 2009 | Cap.2: O espaço Rn e os fundamentos da geometria | Cap.1 |
| Terça, 1 de setembro de 2009 | Cap.3: Produto interno | Cap.2 |
| Quinta, 3 de setembro de 2009 | Cap.4: Fatoração LU | Cap.3 |
| Terça, 8 de setembro de 2009 | Cap.5: Grupos | Cap.4 |
| Quinta, 10 de setembro de 2009 | Cap.6: Fatoração PLU | Cap.5 |
| Terça, 15 de setembro de 2009 | Cap.7: Espaços e subespaços vetoriais reais | Cap.6 |
| Quinta, 17 de setembro de 2009 | PRIMEIRA PROVA (gabarito): Cap 1 a 6. | |
| Terça, 22 de setembro de 2009 | Cap.8: Dimensão de espaços | Cap.7 |
| Quinta, 24 de setembro de 2009 | Cap.9: O Teorema do Posto | Cap.8 |
| Terça, 29 de setembro de 2009 | Cap.10: Determinante | Cap.9 |
| Quinta, 1 de outubro de 2009 | Cap.11: Autovalores e autovetores | Cap.10 |
| Terça, 6 de outubro de 2009 | Aulas suspensas ???, Jornada de Iniciação Científica | |
| Quinta, 8 de outubro de 2009 | Aulas suspensas ???, Jornada de Iniciação Científica | |
| Terça, 13 de outubro de 2009 | Aulas suspensas, estarei no exterior | |
| Quinta, 15 de outubro de 2009 | Cap.12 (Caio): Mudanças de coordenadas | Cap.11 |
| Terça, 20 de outubro de 2009 | Aulas suspensas, estarei no exterior | |
| Quinta, 22 de outubro de 2009 | Cap.13 (Caio): Equações diferenciais ordinárias | Cap.12 |
| Terça, 27 de outubro de 2009 | Aulas suspensas, estarei no exterior | |
| Quinta, 29 de outubro de 2009 | Cap.14 (Caio): O grupo ortogonal | Cap.13 |
| Terça, 3 de novembro de 2009 | SEGUNDA PROVA: até o Cap. 13 | |
| Quinta, 5 de novembro de 2009 | Cap.15: Projeções e mínimos quadrados. | Cap.14 |
| Terça, 10 de novembro de 2009 | Cap.16: O processo de Gram-Schmidt | Cap.15 |
| Quinta, 12 de novembro de 2009 | Cap.17: Matrizes simétricas e o Teorema Espectral | Cap.16 |
| Terça, 17 de novembro de 2009 | Cap.18: Aplicações lineares e endomorfismos lineares | Cap.17 |
| Quinta, 19 de novembro de 2009 | Cap.19: Covariância e carteiras de investimentos | Cap.18 |
| Terça, 24 de novembro de 2009 | Cap.20:Matrizes de Márkov | Cap.19 |
| Quinta, 26 de novembro de 2009 | TERCEIRA PROVA: até o Cap. 19 | |
| Terça, 1 de dezembro de 2009 | Cap.21:Grafos e álgebra linear | Cap.20 |
| Quinta, 3 de dezembro de 2009 | Cap.22: Álgebra linear com números complexos | Cap.21 |
| Terça, 8 de dezembro de 2009 | Cap.23: Normas de matrizes | Cap.22 |
| Quinta, 10 de dezembro de 2009 | Cap.24: Polinômios pérfidos e matrizes mal postas | Cap.23 |
| Terça, 15 de dezembro de 2009 | Cap. 25: Processamento de sinais | Cap.24 |
| Quinta, 17 de dezembro de 2009 | Cap. 26: Transformada rápida de Fourier | Cap.25 |
| Terça, 22 de dezembro de 2009 | PROVA FINAL: toda a matéria | |
Horário O horário inicial é segundas e quartas, de 10:10 às 11:50. Aula inicial na quarta feira, dia 4 de março.
Local B-108A.
Este curso é uma introdução para a área de complexidade de problemas e de algoritmos, com ênfase em algoritmos numéricos (utilizando números reais ou complexos) (...) (mais informações).
Horário Terças e quintas, de 15:10 às 16:50. Aula inicial na terça feira, dia 3 de março.
Local B106-A.
Livro textoLars Ahlfors, Complex Analysis, Third edition. McGrawHill, Auckland, 1979.
(mais informações). Quadro de Notas
